2. Lugares geométricos
2.1 ¿que es un lugar geométrico?
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse al lenguaje algebraico de ecuaciones.
2.2 La mediatriz y la bisectriz
- La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos
- La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.
2.3 Las cónicas
2.3.1 ¿ que es una cónica?
Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forma el plano y el eje del cono comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determinan las distintas clases de cónicas.
2.3.2 La circunferencia
La circunferencia es una linea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo.
Los elementos de la circunferencia son:
- Centro de la circunferencia: el centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
-Radio de la circunferencia: el radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
-Cuerda: la cuerda es un segmento que une 2 puntos de la circunferencia.
-Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
-Arco: un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
-Semicircunferencia: una semicircunferencia es cada uno de los puntos iguales que abarca el diámetro.
2.3.3 La elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a 2 puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de la elipse:
- Focos: son los puntos fijos F y F´.
- Eje focal: es la recta que pasa por los focos.
- Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF´.
- Centro: es el punto de intersección de los ejes.
- Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF´.
- Distancia focal: es el segmento de longitud 2C, C es el valor de la semidistancia focal.
- Vértices: son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A´, B y B´.
- Eje mayor: es el segmento de longitud 2A, A es el valor del semieje mayor.
- Eje menor: es el semento de longitud 2B, B es el valor del semieje menor.
- Ejes de simetría: son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
- Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
- Obtención en un cono
- El método del jardinero
Una elipse es una circunferencia achatada con dos ejes desiguales; el eje mayor, que mide 2a, lo situaremos en el eje X y el eje menor, que mide 2b, lo situaremos en el eje Y, de forma que el óvalo de la elipse quedará horizontal.
Primero deben dibujarse perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo y situar el eje Y en la dirección N-S, y el eje X en la dirección E-O.
Luego hemos de señalar los dos focos que están en el eje X a ambos lados del centro a una distancia c, es decir, en los puntos (c,0) y (-c, 0).
Después, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujar la elipse tal como se ve en la figura.
Esto es prácticamente todo. Sólo tendremos que señalar en la elipse los puntos horarios y los puntos que en el eje Y señalarán nuestra posición.
- Mesa de billar elíptica
Coloca la bola en el foco “F” e impúlsala con el taco en la dirección que quieras. Siempre entra en el agujero, salvo imperfecciones en la nivelación o excesivo efecto en la bola.
También entrará la bola si la lanzas desde otro sitio pero la haces pasar por el foco “F”.
En una elipse, las líneas que unen los focos con un punto cualquiera de la curva forman con ella (con su tangente) ángulos iguales. Luego si la bola viene por una de esas líneas, después de “reflejarse” en la curva seguirá por la otra línea y, por tanto, pasará por el otro foco. Ahí hemos puesto el agujero.
2.3.4 La hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a 2 puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de la hipérbola:
- Focos: son los puntos F y F´
- Eje principal o real: es la recta que pasa por los focos.
- Eje secundario o imaginario: es la mediatriz del segmento FF´.
- Centro: es el punto de intersección de los ejes.
- Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF´.
- Distancia focal: es el segmento de longitud 2c.
- Eje mayor: es el segmento de longitud 2a.
- Eje menor: es el segmento de longitud 2b.
- Asíntotas: son las rectas de ecuaciones. y=- b/a·x, y=b/a·x.
- Relación entre semiejes: c^2= a^2 + b^2.
- Lámpara hipérbolica
Son lámparas que al estar encendidas emanan un cono de luz hacia arriba y otro hacia abajo, los cuales forman sobre la pared 2 figuras con forma de hipérbole.
Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir.
2.3.5 La parábola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Elementos de la parábola:
- Foco: es el punto fijo.
- Directriz: es la recta fija.
- Parámetro: es la distancia del foco a la directriz.
- Eje: es la recta perpendicular a una directriz que pasa por el foco.
- Vértice: es el punto de intersección de la parábola con su eje.
- Radio vector: es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
- Obtención en un cono
- La antena parabólica: es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico.
-El horno solar: es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmete para usos industriales. Reflectores parabólicos concentran la luz sobre un centro focal.
- El espejo parabólico: los Espejos Parabólicos son aquellos cuya superficie es engendrada por la rotación alrededor de su eje de la curva llamada parábola.
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