Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas

Simetría. Ejercicios

Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide:
a) dibujar el triángulo
b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0)
c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX

Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las

leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano.

Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó

algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el

camino más corto". Sirviéndote de esta idea,

halla en que punto del espejo se ha de reflejar un

rayo de luz que parte del punto A para que

después llegue a B

Inventa un abecedario simétrico y escribe una frase.

Frisos, mosaicos y cenefas

MOSAICOS REGULARES

Se llaman mosaicos regulares a aquellos que están formados por un tipo de polígono regular. Para ello, debemos tener en cuenta:

     1.  Que los polígonos que intervengan en el mosaico tengan la misma longitud de lado.

     2.    En los vértices del mosaico concurran un vértice de cada polígono del mosaico.

Hay que tener en cuenta que para que se rellene el plano sin dejar ningún hueco, el ángulo interior debe ser divisor de 360º y menor que 180º.

Aquí tenemos otros ejemplos de mosaicos regulares más elaborados:

ACTIVIDAD 2: MOSAICOS IRREGULARES

Se llaman mosaicos irregulares a aquellos que están formados por un tipo de polígono irregular. Para ello, debemos tener en cuenta:

1   Que los polígonos que intervengan en el mosaico tengan distinta longitud de lado. 

2   Que los polígonos que intervengan en el mosaico no tenga todos sus ángulos iguales.

Aquí tenemos otros ejemplos de mosaicos irregulares más elaborados:

Frisos o cenefas.

Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Existen muchas formas de transformar el plano, pero hay una que es motivo de nuestro interés, esta forma consiste en transformar el plano conservando las distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus transformados.

Estos tipos de transformaciones reciben el nombre de movimientos en el plano o Isometrías.

Tipos de movimientos: 

Existen cuatro tipos de movimientos en el plano, la Traslación, el Giro o Rotación, la Simetría Axial y la Simetría con Deslizamiento. Cualquier movimiento en el plano es, necesariamente, uno de los cuatro anteriores.

Traslaciones y Giros se conocen como movimientos directos por conservar la orientación de la figuras mientras que las simetrías axiales y las simetrías con deslizamiento se conocen como movimientos inversos por no conservar la orientación de la figuras. 

La Traslación es un movimiento en el que los segmentos que unen un punto cualquiera y su transformado son siempre de la misma dirección sentido y longitud. El segmento, que está orientado por asignarle un sentido, se denomina vector de traslación

El Giro de centro O y ángulo a es un movimiento en el que los segmentos que unen O con un punto cualquiera P y con su transformado P' son de la misma longitud y forman un ángulo igual a a.

La Simetría axial de eje la recta e es un movimiento en el que el eje e es mediatriz del segmento que une un punto cualquiera y su transformado, es decir, eje y el segmento se cortan perpendicularmente en el punto medio del segmento. Diremos que un punto A y su transformado A´ son simétricos respecto de e. 

La Simetría con deslizamiento es un movimiento que se compone de una simetría axial y de una traslación de vector paralelo al eje de simetría, es decir para transformar un punto determinamos su simétrico respecto de un eje y a continuación trasladamos el simétrico en dirección paralela al eje

Ejercicios de vectores y translación

Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar:

a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas

b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo

c) las componentes de los vectores anteriores

d) el módulo de cada uno de los vectores 

3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):

Las translaciones. ¿Qué es un vector?

Las translaciones. ¿Qué es un vector?

Un vector es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo , su dirección  y su sentido.

Se define un vector como un elemento de un espacio vectorial.

Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación.

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

Componentes de un Vector.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Teorema de Tales

Tales de Mileto.

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados sonproporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

 Ejemplo:

En el triágulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b. Apicamos la fórmula, y tenemos

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Una aplicación del Teorema de Tales.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; segúnHeródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la  pirámide de Keops en Egipto.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.

Otra variante del Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

Teórema de Tales

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

	1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
	2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
	3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, lascircunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.

Este teorema (véase figuras  1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de losángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Figura 1. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.	Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

Demostración:

En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3), los segmentos son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es: 2α + 2β = π (radianes) (180º) Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene: Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Figura 3. Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

Semicircunferencia

Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda al diámetro de una circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia.

Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro".

Demostración

Sea el triángulo BCA (en la figura superior)

Como OA y OB son iguales (radios de la semicircunferencia) , los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC también son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, ángulo BAC es igual a la suma de ABC y ACB.

Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º, el ángulo BAC debe ser recto.

Ver: PSU Geometría: Pregunta 08_2006

Corolarios

Corolario 1  “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.”

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad,OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase figura 3).

Corolario 2 “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad  de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar la figura 2.

Aplicación del Segundo Teorema de Tales

Construcción de tangentes (líneas rojas en la figura a la derecha) a una circunferencia k desde un punto P, utilizando el segundo teorema de Tales.

Este segundo teorema (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura ).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora).

Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo.

Recordando el corolario 2 del segundo teorema de Tales podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio mitad de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces, marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos Ty T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.

El teorema de Pitágoras

1.Propiedades y tipos de triángulos. 

Clasificación de triángulos

Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:

• Por sus lados
• Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados).

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto (90∘). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90∘); los otros dos son agudos (menor de 90∘).

Triángulo acutángulo

Cuando sus tres ángulos son menores a 90∘; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Triángulo equiángulo

Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente.

Propiedades de los triángulos

Triángulos	Equilátero	Isósceles	Escaleno
Acutángulo
Rectángulo
Obstusángulo

Características:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45∘ cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.
• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes

2.Rectas y puntos notables en el triángulo. 

Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo, por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

Baricentro: (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.

Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. 

Ortocentro: es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo(siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuestoa dicho vértice).

Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan.

3. El Teorema de Pitágoras
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

 
• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado será (b+c)².
Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando: